제르멜로-프렝켈(Zermelo-Fraenkel)의 공리
1.확장공리: X와 Y가 같은 원소를 갖는다면 X=Y이다.
2.분리공리: P(_,p)가 변수 p를 갖는 성질(property)이면 어떤 X에 대해서도 성질 P(_,p)를 만족하는 X의 원소들의 집합 Y={u e X : P(u,p)} 이 존재한다.
3.합집합공리: 임의의 X에 대해서 X의 원소들의 합집합 Y=UX이 존재한다.
4.멱집합공리: 임의의 X에 대새서 X의 부분집합들의 집합이 존재한다.
5.무한공리: 무한집합이 존재한다.
6.치환공리: F가 함수이면 어떤 X에 대해서도 적당한 집합 Y=F[X]={F(x) : x e X} 이 존재한다.
7.정칙공리: 모든 공집합이 아닌 집합은 'e-최소' 원소를 갖는다.
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여기에 선택공리가 들어간 것을 ZFC 공리계 라고 합니다.
그리고 알아야 할 사실!!
1. 무모순성 : 주어진 공리로부터 모순된 명제가 나오지 말아야 한다.
2. 독립성 : 한 공리가 다른 공리들로부터 유도되어서는 안된다.
3. 완전성 : 어떤 공리계가 결정불가능한 명제를 가지지 않을 때 이를 완전성이라 한다.
(결정불가능한 명제는 어떤 명제와 그 부정을 둘 다 증명할 수 없을 때를 뜻합니다)
1931년에 괴델은 놀라운 정리를 발표합니다.
<무모순인 모든 형식적 체계 L에 대해 L은 완전성을 가지지 않는다>
<무모순인 모든 형식적 체계 L에 대해 L의 무모순성을 L 안에서는 증명할 수 없다>
거기에다가 괴델은 1940년 쯤
<ZF공리계가 무모순이라면 ZFC공리계도 무모순이다>
즉 선택공리는 유클리드 기하학에서 평행선 공리와 같은 지위를 가지고 있다고 보시면 됩니다. 선택공리를 부정할 수도 있고, 안 부정할 수도 있지요.
보통 위상수학의 경우는 선택공리를 사용합니다.
대수학의 경우는 선택공리를 사용할 때도 있고, 안 사용할 때도 있습니다. 선택공리 없이도 대수학의 상당 부분을 전개할 수 있기 때문입니다.
해석학도 많은 부분이 선택공리를 사용하지 않아도 되지만, 위상수학적 개념과 측도론에 광범위하게 의존하는 현대해석학에 도달하면 선택공리를 사용해야만 합니다.
